【向量积计算公式】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，主要用于三维空间中的向量运算。它在物理、工程和数学中有着广泛的应用，例如力矩的计算、磁场方向的确定等。
向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，并且满足右手定则。向量积的大小等于两个向量模长的乘积与它们夹角正弦值的乘积。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
或者写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、向量积的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||
| 运算对象 | 两个三维向量 | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于两个原向量所在的平面，遵循右手定则 | ||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $，其中 θ 是两向量夹角 | |
| 交换律 | 不满足：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||
| 分配律 | 满足：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||
| 零向量 | 当两向量共线时，结果为零向量 |
三、向量积的计算步骤
1. 确定两个向量的坐标分量。
2. 根据公式展开行列式或直接代入分量计算。
3. 按照分量分别计算 x、y、z 轴上的值。
4. 组合成最终的向量结果。
四、示例计算
设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，求 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$。
根据公式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
五、向量积的几何意义
- 向量积的模长表示由两个向量所构成的平行四边形面积。
- 若两向量垂直，则向量积的模长达到最大。
- 若两向量共线，则向量积为零向量，说明两者没有“垂直”部分。
六、总结
向量积是一种重要的向量运算方式，具有明确的数学表达和丰富的物理意义。掌握其计算方法和性质，有助于理解三维空间中向量之间的关系，同时在实际问题中能够有效应用。通过表格形式的整理，可以更清晰地理解和记忆向量积的相关内容。