【向量公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，它不仅表示大小，还包含方向。向量在几何、力学、电磁学等多个领域都有广泛应用。掌握常见的向量公式，有助于更好地理解和解决相关问题。
以下是对常用向量公式的总结，包括基本运算、点积、叉积等，以表格形式呈现，便于查阅与理解。
一、向量的基本概念
| 概念 | 定义 | 说明 | ||
| 向量 | 有大小和方向的量 | 通常用箭头符号表示，如 $\vec{a}$ | ||
| 向量的模 | 向量的长度 | 计算公式：$ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ |
| 单位向量 | 模为1的向量 | 任意向量除以自身模可得单位向量 |
二、向量的加减法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ | 对应分量相加 |
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ | 对应分量相减 |
三、向量的数乘
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ | 向量乘以标量，方向不变，大小变化 |
四、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 分量对应相乘再求和 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 通过夹角计算，$\theta$ 是两向量之间的夹角 |
五、向量的叉积（向量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 三维空间中的向量积结果是一个新向量 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | 模长等于面积，方向由右手定则确定 |
六、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影 |
七、向量的线性组合
| 公式 | 说明 |
| $\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$ | 向量 $\vec{c}$ 可以由其他向量线性组合而成 |
总结
向量公式是处理几何与物理问题的重要工具。从基本的加减法到复杂的点积、叉积，每一种运算都有其特定的应用场景。掌握这些公式，不仅能提高解题效率，还能增强对向量本质的理解。
通过上述表格，可以清晰地看到不同向量运算的表达方式及其应用场景，方便学习与复习。