【等比数列中项公式是什么】在等比数列中，中项是指位于两个已知项之间的那个项。如果一个等比数列中有三个连续的项，中间的那个项就被称为这两个外项的中项。中项公式是解决这类问题的重要工具，能够帮助我们快速找到中间的项。
一、等比数列的基本概念
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个相等的比值称为公比，通常用 q 表示。
设等比数列为：
$$ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $$
其中：
- $ a_1 $ 是首项
- $ q $ 是公比
- 通项公式为：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
二、等比数列中项的定义
在等比数列中，若存在三个连续的项 $ a, b, c $，则称 $ b $ 为 $ a $ 和 $ c $ 的中项。根据等比数列的性质，有：
$$
b^2 = a \cdot c
$$
也就是说，中项的平方等于两边两项的乘积。
三、中项公式的推导
假设三个连续项为 $ a, b, c $，且它们构成等比数列，则：
$$
\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = q
$$
由上式可得：
$$
b = a \cdot q \\
c = b \cdot q = a \cdot q^2
$$
将 $ b $ 和 $ c $ 代入 $ b^2 = a \cdot c $ 中验证：
$$
(aq)^2 = a \cdot (aq^2) \\
a^2q^2 = a^2q^2
$$
等式成立，说明中项公式正确。
四、中项公式的应用
当已知等比数列中的两个项时，可以利用中项公式求出中间的项。例如：
- 已知 $ a = 4 $，$ c = 16 $，则中项 $ b = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 $
- 若 $ a = 9 $，$ c = 36 $，则中项 $ b = \sqrt{9 \times 36} = \sqrt{324} = 18 $
五、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 等比数列中项公式 |
| 公式表达 | $ b^2 = a \cdot c $ |
| 适用条件 | 三个连续项构成等比数列 |
| 应用场景 | 已知首项和末项，求中间项；或已知两外项，求中项 |
| 推导依据 | 等比数列的定义（公比相等） |
| 注意事项 | 中项可能为正负两个值，需根据题意选择 |
通过以上分析可以看出，等比数列中项公式是一个简洁而实用的数学工具，能够帮助我们在实际问题中快速求解中间项。掌握这一公式，有助于提高对等比数列的理解和应用能力。