【特征多项式定义】在数学中，特别是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念，用于描述矩阵的性质。通过特征多项式，我们可以找到矩阵的特征值和特征向量，这对于理解矩阵的结构和行为具有重要意义。
一、特征多项式的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其特征多项式是关于变量 $ \lambda $ 的一个多项式，记为 $ p_A(\lambda) $，定义如下：
$$
p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一个标量（通常称为特征值）；
- $ I $ 是单位矩阵；
- $ \det $ 表示行列式运算。
该多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值。
二、特征多项式的作用
1. 求解特征值：特征多项式的根就是矩阵的特征值。
2. 判断矩阵是否可逆：如果 $ \lambda = 0 $ 是特征多项式的一个根，则矩阵不可逆。
3. 计算迹与行列式：特征多项式的系数可以用来表示矩阵的迹（对角线元素之和）和行列式。
三、特征多项式的基本性质
| 属性 | 描述 |
| 次数 | 与矩阵阶数相同，为 $ n $ 次多项式 |
| 系数 | 可以通过矩阵的迹、主子式等计算得到 |
| 根 | 为矩阵的特征值，可能为实数或复数 |
| 重数 | 特征值的重数等于其在特征多项式中的次数 |
| 可逆性 | 若 $ \lambda = 0 $ 不是根，则矩阵可逆 |
四、举例说明
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：
$$
p_A(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后得：
$$
p_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
其根为 $ \lambda_1 = 2 $ 和 $ \lambda_2 = 3 $，即为矩阵的两个特征值。
五、总结
特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，它不仅能够帮助我们找到矩阵的特征值，还能揭示矩阵的其他关键信息。通过理解特征多项式的定义、性质及其应用，有助于更深入地掌握线性代数的核心内容。