有无限小数都是无理数（无限小数都是无理数）

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1、无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

2、若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

3、 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

4、无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

5、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数, 比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数. 2、无理数不能写成两整数之比，举例不对，1分之根号2，根号2本身就不是整数。

6、 利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

7、 证明:假设√2不是无理数，而是有理数。

8、 既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式: √2=p/q 又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

9、 把 √2=p/q 两边平方 得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2 同理q必然也为偶数，设q=2n 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。

10、这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。

11、因此√2是无理数。

12、 1.判断a√b是否无理数(a，b是整数) 若a√b是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式: a√b=c/d(c/d是最简分数) 两边a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a) c^a一定是b的整数倍，设c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也为b的整数倍，设b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整数倍 左边b的因子数是a的倍数，要想等式成立，右边b的因子数必是a的倍数，推出当且仅当b是完全a次方数，a√b才是有理数，否则为无理数。

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