【向量公式大全】在数学、物理和工程学中，向量是一个非常重要的概念，它不仅具有大小，还具有方向。向量广泛应用于力学、电磁学、计算机图形学等领域。为了便于学习和查阅，以下是对常见向量公式的总结，包括基本运算、几何应用以及矢量分析等内容。
一、向量的基本运算
| 运算类型 | 公式表达 | 说明 | ||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ | 两个向量相加，对应分量相加 | ||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ | 两个向量相减，对应分量相减 | ||
| 标量乘法 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ | 向量与标量相乘，各分量乘以该标量 | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ | 向量的长度或大小 |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 与原向量同方向的单位向量 |
二、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 向量点积的代数表达式 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 向量点积的几何意义，$\theta$ 为两向量夹角 |
用途：计算两向量之间的夹角、投影等。
三、向量的叉积（矢量积）
| 公式 | 说明 | ||||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 叉积的代数形式 | ||||||
| $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | 叉积的模长，$\theta$ 为两向量夹角 |
用途：求垂直于两个向量的向量，常用于计算面积、力矩等。
四、向量的混合积
| 公式 | 说明 |
| $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ | 混合积的定义 |
| 几何意义 | 表示由三个向量所形成的平行六面体的体积 |
五、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量 |
| $\text{comp}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影长度 |
六、向量的共线与垂直条件
| 条件 | 公式 |
| 共线 | $\vec{a} = k\vec{b}$，其中 $k$ 为常数 |
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
七、向量的坐标表示
| 表达方式 | 说明 | |
| 矢量表示 | $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ | 在三维空间中，用单位向量表示向量 |
| 坐标表示 | $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ | 向量的坐标形式 |
八、向量的几何应用
| 应用场景 | 公式/方法 | ||||
| 平行四边形面积 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | $ | ||
| 三角形面积 | $\frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} | $ | ||
| 两点之间距离 | $ | \vec{b} - \vec{a} | $ | ||
| 两向量夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ |
总结
向量是描述物理量的重要工具，其公式繁多但逻辑清晰。掌握这些基本公式有助于解决实际问题，如力学分析、几何建模、计算机图形学等。建议结合具体实例进行练习，以加深理解。