【等比数列的公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等多个领域，掌握其基本公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。
以下是等比数列的一些关键公式及其解释：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 其中 $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数 | ||
| 前n项和公式（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 用于计算前n项的总和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时的前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当公比为1时，所有项相等，直接乘以项数即可 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当公比的绝对值小于1时，无限项的和收敛于该值 |
通过这些公式，我们可以快速计算等比数列中的任意一项或其前几项的和。例如，若已知首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，则第5项为 $ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $，前5项的和为 $ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 242 $。
理解并灵活运用这些公式，有助于我们在实际问题中更高效地进行分析和计算。