【一元三次方程韦达定理】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $（其中 $ a \neq 0 $）的方程。在解这类方程时，除了求根公式外，还有一种重要的数学工具——韦达定理。它揭示了方程的根与系数之间的关系，为研究方程性质提供了便利。
一、一元三次方程的基本形式
一般形式为：
$$
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其三个根为 $ x_1, x_2, x_3 $，则根据韦达定理，可以得到以下关系：
二、韦达定理在三次方程中的应用
| 根的关系 | 公式表达 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} $ |
| 根两两之积之和 | $ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} $ |
这些关系在代数运算、方程构造以及根的性质分析中具有重要作用。
三、应用举例
假设有一个三次方程：
$ 2x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0 $
根据韦达定理：
- 根的和：$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{6}{2} = 3 $
- 根两两之积之和：$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{3}{2} $
- 根的积：$ x_1x_2x_3 = \frac{1}{2} $
通过这些信息，我们可以快速判断方程的根的某些特性，例如是否对称、是否存在实根等。
四、总结
一元三次方程的韦达定理是一种简洁而强大的工具，它将方程的系数与根之间建立了明确的联系。通过这些关系，我们可以在不求出具体根的情况下，对根的性质进行分析。这对于数学建模、方程构造以及进一步的代数研究都具有重要意义。
表格总结：
| 关系项 | 表达式 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} $ |
| 根两两之积之和 | $ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} $ |