【arcsin平方x的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本而重要的任务。对于一些较为复杂的函数，如 $ \arcsin^2 x $，其原函数并不直观，需要通过适当的积分技巧进行求解。本文将对 $ \arcsin^2 x $ 的原函数进行总结，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、原函数推导思路
函数 $ \arcsin^2 x $ 是反三角函数的平方形式，其积分需要用到分部积分法（Integration by Parts）以及换元法（Substitution）。具体步骤如下：
1. 设 $ u = \arcsin x $，则 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $；
2. 设 $ dv = \arcsin x \, dx $，则需先计算 $ v = \int \arcsin x \, dx $；
3. 使用分部积分公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $。
经过一系列代数运算与积分变换，最终可得 $ \arcsin^2 x $ 的原函数表达式。
二、原函数表达式
经过详细推导，$ \arcsin^2 x $ 的原函数为：
$$
\int \arcsin^2 x \, dx = x \arcsin^2 x + 2 \left( \sqrt{1 - x^2} \cdot \arcsin x - \sqrt{1 - x^2} \right) + C
$$
其中，$ C $ 为积分常数。
三、关键步骤总结（表格）
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设 $ u = \arcsin x $，$ dv = \arcsin x \, dx $ | 分部积分法的第一步 |
| 2 | 计算 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ | 反三角函数的导数 |
| 3 | 计算 $ v = \int \arcsin x \, dx $ | 需要单独积分，使用分部积分或查表 |
| 4 | 应用分部积分公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ | 得到最终表达式 |
| 5 | 化简并整理表达式 | 得到最终的原函数形式 |
四、结论
$ \arcsin^2 x $ 的原函数可以通过分部积分法结合换元法求得，其表达式为：
$$
x \arcsin^2 x + 2 \left( \sqrt{1 - x^2} \cdot \arcsin x - \sqrt{1 - x^2} \right) + C
$$
该过程展示了如何处理复合反三角函数的积分问题，是学习高等数学时的重要练习内容。
如需进一步验证该结果，可通过求导方式检查是否得到原函数。