【超几何分布的期望和方差】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，研究某类个体出现的次数。超几何分布广泛应用于质量控制、抽样调查等领域。本文将对超几何分布的期望和方差进行总结，并通过表格形式直观展示其计算公式与应用实例。
一、超几何分布的基本概念
设总体中有 $ N $ 个个体，其中 $ K $ 个是“成功”个体（如合格品），其余为“失败”个体。从总体中随机抽取 $ n $ 个个体，且不放回。设 $ X $ 表示这 $ n $ 个样本中“成功”个体的数量，则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作 $ X \sim H(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望
超几何分布的期望值表示在一次抽样中，预期的成功次数。其数学表达式为：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
该公式表明，期望值与样本容量 $ n $ 和总体中成功比例 $ \frac{K}{N} $ 成正比。
三、超几何分布的方差
超几何分布的方差衡量了样本中成功次数的波动程度。其数学表达式为：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
该公式包含三个主要部分：样本数量、成功比例、以及有限总体修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，这是与二项分布的重要区别之一。
四、总结与对比
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示样本中成功次数的平均值 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 衡量成功次数的离散程度 |
五、实际应用举例
假设一个工厂有 100 个产品，其中有 20 个是合格品。从中随机抽取 10 个产品，不放回。求合格品数量的期望和方差。
- $ N = 100 $，$ K = 20 $，$ n = 10 $
- 期望：$ E(X) = 10 \times \frac{20}{100} = 2 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = 10 \times \frac{20}{100} \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) \times \frac{100 - 10}{100 - 1} = 1.6 \times \frac{90}{99} \approx 1.45 $
由此可见，在这种情况下，合格品数量的期望为 2，方差约为 1.45。
六、结语
超几何分布是处理有限总体不放回抽样的重要工具，其期望和方差在实际问题中具有广泛的参考价值。理解其数学表达和应用场景，有助于更准确地进行统计推断和决策分析。