【基本不等式公式有哪四个】在数学学习中，基本不等式是解决最值问题、优化问题的重要工具，尤其在高中数学和高等数学中应用广泛。常见的基本不等式主要包括均值不等式、柯西不等式、排序不等式以及琴生不等式等。以下是对这四个基本不等式的总结与归纳。
一、基本不等式概述
基本不等式是指在一定条件下成立的不等式关系，通常用于比较数的大小或求极值。它们不仅具有理论价值，还在实际问题中有着广泛应用，如经济模型、物理计算、工程设计等。
二、四大基本不等式及其内容
| 不等式名称 | 公式表达 | 适用条件 | 说明 |
| 均值不等式（AM ≥ GM） | $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ | $a, b > 0$ | 对于两个正数，算术平均大于等于几何平均 |
| 柯西不等式（Cauchy-Schwarz） | $(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$ | $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ | 在向量空间中，内积平方小于等于模长乘积 |
| 排序不等式（Rearrangement Inequality） | 若 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，则 $a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_k + a_2b_{k+1} + \cdots + a_nb_1$（其中 $k$ 是任意排列） | $a_i, b_i$ 为实数 | 排序相同的两组数的乘积之和最大 |
| 琴生不等式（Jensen's Inequality） | 若 $f(x)$ 是凸函数，则 $f\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$ 若 $f(x)$ 是凹函数，则不等号反向 | $x_i$ 为定义域内实数，$f(x)$ 为凸/凹函数 | 凸函数的平均值大于等于函数在平均点的值 |
三、总结
以上四种基本不等式在数学中具有重要地位，尤其是均值不等式和柯西不等式，在各类竞赛题和考试题中频繁出现。掌握这些不等式的应用场景和使用技巧，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。
通过理解这些公式的本质和应用场景，可以更灵活地运用它们解决实际问题，从而提升数学素养和综合能力。