【五个抽样定理】在信号处理和信息论中，抽样定理是连接连续信号与离散信号的重要桥梁。它决定了如何从连续信号中提取样本，以便能够无失真地重建原始信号。以下是五个重要的抽样定理，它们分别适用于不同的应用场景，并在通信、图像处理、音频工程等领域具有广泛的应用。
一、奈奎斯特-香农抽样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）
简介：该定理指出，如果一个信号的最高频率为 $ f_{\text{max}} $，则为了能够完全重建该信号，采样频率必须至少为 $ 2f_{\text{max}} $，即奈奎斯特频率。
关键点：
- 需要满足采样率大于等于两倍的最高频率。
- 否则会发生频谱混叠，导致信号失真。
二、低通抽样定理（Low-pass Sampling Theorem）
简介：该定理是奈奎斯特-香农定理的一个特例，适用于带宽受限的信号。
关键点：
- 信号的带宽为 $ B $，则采样频率应大于 $ 2B $。
- 通常用于音频、视频等低通信号的数字化。
三、带通抽样定理（Bandpass Sampling Theorem）
简介：对于中心频率较高、带宽较窄的带通信号，可以采用低于两倍最高频率的采样率进行抽样，但需满足特定条件。
关键点：
- 适用于高频带通信号，如无线通信中的射频信号。
- 采样频率需满足一定条件，避免频谱重叠。
四、非均匀抽样定理（Non-uniform Sampling Theorem）
简介：不同于传统的等间隔抽样，该定理允许在不规则时间点进行抽样，仍能准确恢复原始信号。
关键点：
- 适用于某些特殊场景，如传感器网络或随机采样系统。
- 抽样点的时间间隔不固定，但需满足一定的数学条件。
五、压缩感知抽样定理（Compressive Sensing Sampling Theorem）
简介：该定理基于信号的稀疏性，在远低于奈奎斯特频率的情况下也能实现信号的精确重建。
关键点：
- 基于信号在某个基下的稀疏表示。
- 适用于高维数据或资源受限环境下的信号采集。
五个抽样定理对比表
| 抽样定理名称 | 适用场景 | 核心要求 | 是否需要等间隔采样 | 是否需要高频采样 |
| 奈奎斯特-香农定理 | 一般连续信号 | 采样率 ≥ 2 × 最高频率 | 是 | 是 |
| 低通抽样定理 | 低通信号 | 采样率 ≥ 2 × 带宽 | 是 | 是 |
| 带通抽样定理 | 高频带通信号 | 采样率 ≥ 2 × 带宽，且满足条件 | 是 | 否 |
| 非均匀抽样定理 | 特殊系统 | 抽样点不规则，需满足数学条件 | 否 | 是 |
| 压缩感知抽样定理 | 稀疏信号 | 信号在某基下稀疏，采样率低 | 否 | 否 |
总结
五个抽样定理分别适用于不同类型的信号和应用场景。其中，奈奎斯特-香农定理是基础，其他定理是在其基础上的扩展或优化。随着技术的发展，尤其是压缩感知的出现，使得在低采样率下也能实现高质量信号重建成为可能，为现代通信和信号处理提供了新的思路。