问直线与抛物线相交弦长公式

【直线与抛物线相交弦长公式】在解析几何中，研究直线与抛物线的交点及其相关性质是常见的问题。其中，求解直线与抛物线相交所形成的弦长是一个重要的计算内容。本文将对“直线与抛物线相交弦长公式”进行总结，并以表格形式展示关键公式和应用方法。

一、基本概念

- 直线：通常表示为 $ y = kx + b $ 或 $ Ax + By + C = 0 $

- 抛物线：标准形式有 $ y^2 = 4ax $、$ x^2 = 4ay $ 等

- 弦长：指直线与抛物线两个交点之间的距离

二、直线与抛物线相交弦长公式推导

设直线方程为 $ y = kx + b $，抛物线方程为 $ y^2 = 4ax $，则两者的交点满足：

$$

(kx + b)^2 = 4ax

$$

展开并整理得：

$$

k^2x^2 + 2kbx + b^2 - 4ax = 0

$$

即：

$$

k^2x^2 + (2kb - 4a)x + b^2 = 0

$$

这是一个关于 $ x $ 的二次方程，其根为交点的横坐标 $ x_1, x_2 $，对应的纵坐标为 $ y_1 = kx_1 + b $，$ y_2 = kx_2 + b $

弦长公式为：

$$

L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$$

由于 $ y_2 - y_1 = k(x_2 - x_1) $，代入得：

$$

L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + [k(x_2 - x_1)]^2} = x_2 - x_1\sqrt{1 + k^2}

$$

而 $ x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $，根据韦达定理：

- $ x_1 + x_2 = \frac{4a - 2kb}{k^2} $

- $ x_1x_2 = \frac{b^2}{k^2} $

因此：

$$

(x_2 - x_1)^2 = \left( \frac{4a - 2kb}{k^2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{b^2}{k^2}

$$

简化后可得：

$$

L = \sqrt{ \left[ \left( \frac{4a - 2kb}{k^2} \right)^2 - \frac{4b^2}{k^2} \right] } \cdot \sqrt{1 + k^2}

$$

进一步化简得：

$$

L = \frac{ \sqrt{ (4a - 2kb)^2 - 4b^2k^2 } }{k^2} \cdot \sqrt{1 + k^2}

$$

三、通用公式（适用于一般情况）

若直线为 $ y = kx + b $，抛物线为 $ y^2 = 4ax $，则弦长公式为：

$$

L = \frac{ \sqrt{ (4a - 2kb)^2 - 4b^2k^2 } }{k^2} \cdot \sqrt{1 + k^2}

$$

四、常见类型与公式对比

> 注：以上公式适用于直线与抛物线有两个交点的情况，若判别式小于零，则无实交点。

五、实际应用示例

题目：求直线 $ y = x + 1 $ 与抛物线 $ y^2 = 4x $ 的相交弦长。

步骤：

1. 代入得：$ (x + 1)^2 = 4x $

2. 展开：$ x^2 + 2x + 1 = 4x $

3. 整理：$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

4. 解得：$ x = 1 $（重根）

5. 判别式为0，说明直线与抛物线相切，弦长为0

结论：此直线与抛物线相切，无弦长。

六、总结

直线与抛物线的相交弦长公式是解析几何中的重要工具，广泛应用于数学建模、物理运动轨迹分析等领域。掌握不同类型的抛物线与直线的组合关系，有助于更高效地解决实际问题。

如需进一步探讨其他类型的抛物线或特殊位置的直线，欢迎继续交流。