【微积分常用公式有哪些】在学习微积分的过程中，掌握一些常用的公式是非常重要的。这些公式不仅有助于理解微积分的基本概念，还能在解题过程中提高效率。以下是一些常见的微积分公式，涵盖了基本的导数、积分以及一些特殊函数的运算规则。
一、基本导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $（$ a > 0 $） | $ a^x \ln a $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 积分 | ||
| $ x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $（$ a > 0 $） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、积分法则与技巧
| 方法 | 公式 |
| 换元法 | $ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du $ |
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ |
| 三角代换 | 用于处理形如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $ 等形式的积分 |
| 分式分解 | 用于有理函数积分，将分式拆分为多个简单分式的和 |
四、常见函数的不定积分表（部分）
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{a^2 + x^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{a^2 - x^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{a+x}{a-x}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right | + C $ |
| $ \sqrt{x^2 + a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ |
五、定积分相关公式
1. 牛顿-莱布尼兹公式：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
2. 对称性性质：
- 若 $ f(-x) = f(x) $，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx $
- 若 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $
六、泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 展开式（在 $ x=0 $ 处） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $（$ | x | < 1 $） |
通过掌握这些基础的微积分公式，可以更高效地进行计算与分析。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。