【平面向量的所有公式】平面向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、几何、工程等领域。掌握平面向量的基本公式，有助于更好地理解和解决相关问题。以下是对平面向量常用公式的系统总结，便于查阅和复习。
一、基本概念与表示
| 概念 | 说明 | ||
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用箭头符号表示，如 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$ | ||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向不确定，记作 $\vec{0}$ | ||
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hat{a}$ |
二、向量的加减法
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} + \vec{b}$ | 向量加法，遵循平行四边形法则或三角形法则 |
| $\vec{a} - \vec{b}$ | 向量减法，等同于 $\vec{a} + (-\vec{b})$ |
| $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ | 零向量的加法性质 |
| $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ | 向量与其相反向量相加为零向量 |
三、向量的数乘
| 公式 | 说明 |
| $k\vec{a}$ | 数乘向量，其中 $k$ 为实数 |
| $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ | 数乘分配律 |
| $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ | 数乘分配律（另一形式） |
| $1\vec{a} = \vec{a}$ | 数乘单位元性质 |
四、向量的坐标表示
设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
| 公式 | 说明 | ||
| $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量加法的坐标表示 | ||
| $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 向量减法的坐标表示 | ||
| $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$ | 数乘向量的坐标表示 | ||
| $ | \vec{a} | = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ | 向量的模长计算公式 |
五、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 点积定义，$\theta$ 为两向量夹角 | |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 点积的坐标表示 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^2$ | 向量与自身的点积等于其模的平方 | ||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ | 点积为0时两向量垂直 |
六、向量的叉积（仅适用于三维空间）
虽然本题只讨论平面向量，但为了完整性，这里简要提及叉积：
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | 叉积定义，$\hat{n}$ 为垂直于两向量的单位向量 | |
| 在二维中，叉积常用于计算面积，其绝对值为平行四边形面积 | |||||
| 坐标形式：$\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$ | 二维叉积的简化表达式 |
七、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||||||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量 | ||||
| $ | \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} | = \frac{ | \vec{a} \cdot \vec{b} | }{ | \vec{b} | }$ | 投影的长度 |
八、向量的夹角
| 公式 | 说明 | ||||
| $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 两向量夹角的余弦值公式 | |
| $\theta = \arccos\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } \right)$ | 夹角的计算公式 |
九、共线与垂直条件
| 条件 | 说明 |
| $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$ | 向量共线（方向相同或相反） |
| $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 向量垂直的条件 |
通过以上总结，可以系统地掌握平面向量的相关公式，便于在实际问题中灵活运用。建议结合具体例题进行练习，以加深理解。