【驻点怎么求】在数学中，特别是在微积分和函数分析中，“驻点”是一个重要的概念。它指的是函数的导数为零或不存在的点，这些点可能是极值点、拐点或鞍点等。掌握如何求驻点，对于理解函数的性质、优化问题以及图像分析都具有重要意义。
以下是对“驻点怎么求”的总结与解析，帮助你系统地掌握这一知识点。
一、什么是驻点？
驻点（Stationary Point）是函数在某一点处的导数等于零或导数不存在的点。换句话说，它是函数图像上斜率为零或不可导的点。这些点可能对应于极大值、极小值或拐点。
二、驻点的求法步骤
| 步骤 | 内容 | |
| 1 | 确定函数表达式 | 首先明确你要研究的函数形式，例如 $ f(x) $ 或 $ f(x, y) $。 |
| 2 | 求导数 | 对函数进行求导，得到导数 $ f'(x) $ 或偏导数 $ \frac{\partial f}{\partial x} $、$ \frac{\partial f}{\partial y} $。 |
| 3 | 解方程 | 将导数设为零，解出满足条件的自变量值。即解方程 $ f'(x) = 0 $ 或 $ \frac{\partial f}{\partial x} = 0 $、$ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $。 |
| 4 | 验证是否存在 | 检查这些点是否在定义域内，且导数是否确实为零或不存在。 |
| 5 | 分析驻点类型 | 使用二阶导数或海森矩阵判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。 |
三、实例分析
示例1：单变量函数
函数：$ f(x) = x^3 - 3x $
步骤：
1. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
2. 解方程：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $
3. 驻点：$ x = 1 $ 和 $ x = -1 $
4. 判断类型：使用二阶导数 $ f''(x) = 6x $，代入得：
- $ f''(1) = 6 > 0 $ → 极小值
- $ f''(-1) = -6 < 0 $ → 极大值
示例2：多变量函数
函数：$ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy $
步骤：
1. 求偏导数：
- $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y $
- $ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 2x $
2. 解方程组：
- $ 2x - 2y = 0 \Rightarrow x = y $
- $ 2y - 2x = 0 \Rightarrow y = x $
3. 驻点：所有满足 $ x = y $ 的点，如 $ (0, 0) $、$ (1, 1) $ 等
4. 判断类型：使用海森矩阵（Hessian Matrix）：
- $ H = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} $
- 行列式 $ \det(H) = 4 - 4 = 0 $，无法判断，需进一步分析
四、注意事项
- 驻点不一定是极值点，也可能是拐点或鞍点。
- 在某些情况下，导数不存在的点也可能成为驻点（如分段函数的边界点）。
- 多变量函数的驻点需要同时满足所有偏导数为零的条件。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 函数导数为零或不存在的点 |
| 求法 | 求导 → 解方程 → 验证 → 分析类型 |
| 类型 | 极大值、极小值、鞍点等 |
| 注意事项 | 不是所有驻点都是极值点；多变量需同时满足多个偏导数为零 |
通过以上方法和步骤，你可以系统地找到函数的驻点，并进一步分析其性质。掌握这一技能，将有助于你在数学建模、优化问题和物理分析中更加得心应手。