【复合函数求导怎么算】在微积分的学习中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。它涉及到多个函数的嵌套结构，需要按照一定的规则进行逐层求导。掌握复合函数的求导方法，有助于解决实际问题中的复杂变化率问题。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，形式为 $ y = f(g(x)) $。其中，$ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
要对这样的函数求导，需要用到链式法则（Chain Rule）。
二、复合函数求导的步骤总结
1. 确定内外函数：明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 对外层函数求导：将内层函数看作一个变量，对外层函数求导。
3. 对内层函数求导：单独对内层函数求导。
4. 相乘得到结果：将两者的导数相乘，即为整个复合函数的导数。
三、复合函数求导公式
若 $ y = f(g(x)) $，则其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
四、常见复合函数求导示例（表格）
| 复合函数形式 | 外层函数 | 内层函数 | 外层导数 | 内层导数 | 总导数 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 2x $ | $ \cos(u) $ | $ 2 $ | $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ u = x^2 $ | $ e^u $ | $ 2x $ | $ 2x e^{x^2} $ |
| $ y = (3x + 1)^5 $ | $ u^5 $ | $ u = 3x + 1 $ | $ 5u^4 $ | $ 3 $ | $ 15(3x + 1)^4 $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ \ln(u) $ | $ u = \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{u} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | $ \frac{1}{2x} $ |
| $ y = \tan(5x - 3) $ | $ \tan(u) $ | $ u = 5x - 3 $ | $ \sec^2(u) $ | $ 5 $ | $ 5\sec^2(5x - 3) $ |
五、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数，无论嵌套多少层。
- 在实际应用中，有时会遇到多层复合函数，如 $ y = f(g(h(x))) $，这时需要依次使用链式法则多次。
- 熟练掌握基本初等函数的导数是正确应用链式法则的前提。
六、小结
复合函数求导的核心在于分步处理、逐层求导。通过明确内外函数、分别求导并相乘，可以有效地解决复杂的求导问题。建议在练习中多做题，逐步提高对复合函数求导的熟练程度。
总结一句话：
复合函数求导的关键是使用链式法则，先对外层求导，再对内层求导，最后相乘得到最终结果。