【学习利用不动点求数列通项公式】在数列问题中，求解通项公式是常见的任务之一。对于一些特殊的递推数列，如线性递推、分式递推等，可以借助“不动点”这一数学概念来简化通项公式的推导过程。本文将总结如何利用不动点求数列的通项公式，并通过实例说明其应用方法。
一、什么是不动点？
设函数 $ f(x) $，若存在某个值 $ x_0 $，使得 $ f(x_0) = x_0 $，则称 $ x_0 $ 为函数 $ f(x) $ 的一个不动点。
在数列问题中，通常会遇到形如：
$$
a_{n+1} = f(a_n)
$$
这样的递推关系。如果我们能找到这个函数 $ f(x) $ 的不动点，就有可能通过构造辅助数列或使用其他技巧，更方便地求出通项公式。
二、利用不动点求数列通项的一般步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 给定递推公式 $ a_{n+1} = f(a_n) $ |
| 2 | 求解方程 $ f(x) = x $，得到不动点 $ x_0 $ |
| 3 | 若 $ f(x) $ 是线性函数（如 $ f(x) = ax + b $），可直接通过不动点构造通项公式 |
| 4 | 若 $ f(x) $ 是非线性的（如分式函数、指数函数等），可尝试构造新的数列来简化原递推关系 |
| 5 | 利用不动点性质，结合数列的初始条件，求出通项表达式 |
三、常见类型及例子
类型1：线性递推数列
形式：
$$
a_{n+1} = pa_n + q
$$
不动点：
令 $ x = px + q \Rightarrow x = \frac{q}{1 - p} $，前提是 $ p \neq 1 $
通项公式：
$$
a_n = (a_1 - x)p^{n-1} + x
$$
示例：
已知 $ a_1 = 2 $，且 $ a_{n+1} = 2a_n + 3 $，求通项。
- 不动点：$ x = \frac{3}{1 - 2} = -3 $
- 通项公式：
$$
a_n = (2 - (-3)) \cdot 2^{n-1} + (-3) = 5 \cdot 2^{n-1} - 3
$$
类型2：分式递推数列
形式：
$$
a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s}
$$
不动点：
解方程 $ \frac{px + q}{rx + s} = x \Rightarrow px + q = rx^2 + sx \Rightarrow rx^2 + (s - p)x - q = 0 $
通项公式：
一般较为复杂，但可以通过构造倒数数列或对数变换等方式进行求解。
示例：
已知 $ a_1 = 1 $，且 $ a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 1} $，求通项。
- 不动点：
$$
\frac{2x + 1}{x + 1} = x \Rightarrow 2x + 1 = x^2 + x \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0
$$
解得 $ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $，即两个不动点。
- 构造新数列：
令 $ b_n = \frac{a_n - x_1}{a_n - x_2} $，其中 $ x_1, x_2 $ 为上述不动点，可转化为等比数列。
四、总结表格
| 递推形式 | 不动点方程 | 通项公式形式 | 是否需要构造新数列 | 适用场景 |
| 线性递推 $ a_{n+1} = pa_n + q $ | $ x = px + q $ | $ a_n = (a_1 - x)p^{n-1} + x $ | 否 | 常见线性递推 |
| 分式递推 $ a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s} $ | $ \frac{px + q}{rx + s} = x $ | 需要构造新数列 | 是 | 复杂分式递推 |
| 其他非线性递推 | 根据具体形式而定 | 依情况而定 | 通常需要 | 特殊结构递推 |
五、注意事项
1. 不动点法适用于某些特定形式的递推关系，不是所有数列都适用。
2. 对于非线性递推，可能需要结合其他方法（如特征方程、生成函数、迭代法等）。
3. 在实际操作中，应先尝试找出不动点，再判断是否能通过该点构造通项。
结语：
利用不动点求数列通项公式是一种高效且具有逻辑性的方法，尤其在处理线性与部分分式递推时效果显著。掌握这一方法，有助于提升解决数列问题的效率和准确性。