【二重积分求重心坐标公式】在数学与物理中，计算一个平面图形的重心坐标是常见的问题。重心也称为质心，它表示图形的质量分布中心。对于密度均匀的平面图形，其重心位置可以通过二重积分来求解。本文将总结二重积分求解重心坐标的公式，并以表格形式清晰展示相关内容。
一、基本概念
重心（质心）：是指物体质量分布的平均位置。对于密度均匀的图形，重心即为几何中心。
二重积分：用于计算平面上的面积、质量、体积等，也可用于求解重心坐标。
二、二重积分求重心坐标的公式
设有一个密度均匀的平面图形，其区域为 $ D \subseteq \mathbb{R}^2 $，则该图形的重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 可由以下公式计算：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \iint_D x \, dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_D y \, dA
$$
其中：
- $ A = \iint_D dA $ 是图形的面积；
- $ dA $ 是面积微元，通常表示为 $ dx\,dy $ 或 $ dy\,dx $；
- $ x $ 和 $ y $ 是区域内的点的坐标。
三、公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 重心横坐标公式 | $ \bar{x} = \frac{1}{A} \iint_D x \, dA $ | 计算x方向上的重心位置 |
| 重心纵坐标公式 | $ \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_D y \, dA $ | 计算y方向上的重心位置 |
| 图形面积公式 | $ A = \iint_D dA $ | 计算图形的总面积 |
| 积分变量 | $ dA = dx\,dy $ 或 $ dy\,dx $ | 面积微元的形式 |
| 密度假设 | 假设密度均匀，即为常数，因此质量分布仅由几何形状决定 | 适用于均质材料 |
四、应用示例（简要说明）
例如，若有一块矩形板，长为 $ a $，宽为 $ b $，其重心位于几何中心，即：
$$
\bar{x} = \frac{a}{2}, \quad \bar{y} = \frac{b}{2}
$$
通过二重积分计算，结果一致，验证了公式的正确性。
五、注意事项
- 若图形密度不均匀，则需引入密度函数 $ \rho(x,y) $，此时重心公式变为：
$$
\bar{x} = \frac{\iint_D x \rho(x,y)\,dA}{\iint_D \rho(x,y)\,dA}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y \rho(x,y)\,dA}{\iint_D \rho(x,y)\,dA}
$$
- 在实际计算中，需要根据图形边界选择合适的积分顺序（先对x或先对y），并确定积分限。
六、结语
二重积分是计算平面图形重心坐标的重要工具，尤其在工程力学、物理学和几何学中广泛应用。掌握其公式及应用方法，有助于解决实际问题。通过上述总结与表格，可以更清晰地理解如何利用二重积分求解重心坐标。