【数学穿根法】在数学学习中，尤其是不等式和函数图像的分析过程中，“穿根法”是一种非常实用的解题技巧。它主要用于求解高次不等式、分式不等式以及某些复杂函数的符号变化问题。通过“穿根法”，可以快速判断函数在数轴上的正负区间，从而找到不等式的解集。
一、什么是“穿根法”？
“穿根法”，又称“数轴标根法”或“根穿线法”，是通过将多项式的根标在数轴上，并根据根的奇偶性（即重根次数）来判断函数在各个区间的符号，从而确定不等式的解集的一种方法。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将不等式化为标准形式：`f(x) > 0` 或 `f(x) < 0`，其中`f(x)`为多项式或分式表达式。 |
| 2 | 找出所有实数根（即方程`f(x)=0`的解），并按从小到大的顺序排列。 |
| 3 | 在数轴上标出这些根，并将数轴分为若干个区间。 |
| 4 | 从右向左（或从最右边的区间开始）逐个判断每个区间的符号，根据根的奇偶性决定是否“穿根”。 |
| 5 | 根据不等式的符号要求，选取相应的区间作为解集。 |
三、关键点解析
- 根的奇偶性：如果某个根是单根（奇数次），则在该点处函数符号会发生改变；如果是重根（偶数次），则符号不会改变。
- 边界值处理：若不等式为严格不等式（如`>`, `<`），则不包含根点；若为非严格不等式（如`≥`, `≤`），则需考虑是否包含根点。
- 分式不等式：需要额外注意分母不能为零，即排除使分母为零的点。
四、适用范围
| 类型 | 是否适用 | 说明 |
| 高次不等式 | ✅ | 可直接应用 |
| 分式不等式 | ✅ | 需注意分母为零的情况 |
| 含绝对值的不等式 | ❌ | 一般不适用，需转化为其他形式 |
| 三角函数不等式 | ❌ | 通常不适用，需结合图像或单位圆分析 |
五、示例说明
例题：解不等式 `(x+1)(x-2)^2(x-3) > 0`
步骤：
1. 根为：`x = -1, 2, 3`
2. 数轴上标出三个根，分成四个区间：`(-∞, -1)`, `(-1, 2)`, `(2, 3)`, `(3, +∞)`
3. 从右往左判断符号：
- `(3, +∞)`：正
- `(2, 3)`：负（因2是重根，不穿）
- `(-1, 2)`：正
- `(-∞, -1)`：负
4. 不等式为“>0”，所以取正区间：`(-1, 2) ∪ (3, +∞)`
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 穿根法 |
| 适用类型 | 高次不等式、分式不等式 |
| 关键点 | 根的奇偶性、符号变化、边界值处理 |
| 优点 | 快速、直观、便于记忆 |
| 注意事项 | 分母不为零、重根处理、不等号方向 |
通过掌握“穿根法”，可以更高效地解决复杂的不等式问题，尤其在考试中节省大量时间，提高解题准确率。