【微分的基本公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握微分的基本公式，有助于快速求解各类问题。以下是对常见微分公式的总结与归纳，便于学习和查阅。
一、基本微分公式总结
| 函数类型 | 函数表达式 | 导数（微分） |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、基本规则与应用说明
1. 常数倍法则：若 $ f(x) = c \cdot g(x) $，则 $ f'(x) = c \cdot g'(x) $。
2. 加减法则：若 $ f(x) = g(x) \pm h(x) $，则 $ f'(x) = g'(x) \pm h'(x) $。
3. 乘法法则（莱布尼茨法则）：若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则 $ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $。
4. 除法法则：若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，则 $ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} $。
5. 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $。
三、使用建议
在实际应用中，微分公式不仅是计算导数的基础，也是理解函数性质的关键。例如，在物理学中，速度是位移的导数，加速度是速度的导数；在经济学中，边际成本是总成本的导数。因此，熟练掌握这些基本公式，能够帮助我们更高效地分析和解决问题。
通过上述表格和说明，可以清晰地看到各类函数的微分规律。掌握这些内容后，再面对复杂函数时，也能更有条理地进行分解与求解。