数学家讨论求解一个看似无法解的方程

10 年后，明斯特大学数学研究所的 Raimar Wulkenhaar 教授和他的同事牛津大学的 Erik Panzer 博士解决了一个被认为无法解的数学方程。该方程将用于寻找基本粒子物理学提出的问题的答案。在对 Christina Heimken 的采访中，Wulkenhaar 回顾了在寻找解决方案公式时遇到的挑战，并解释了为什么工作尚未完成。

您研究方程的解决方案长达 10 年。是什么让这个方程如此难解?

这是一个具有两个变量的非线性积分方程。这样的方程是如此复杂，以至于您确实认为不可能有任何解决方案的公式。单独的两个变量本身就是一个挑战，并且没有确定的方法来寻找非线性积分方程的解。尽管如此，在这 10 年里一次又一次地出现了一线希望，因此，尽管存在所有困难，我认为找到一个明确的解决方案——通过已知函数表达——实际上是可能的。

等式可以用来做什么?

它是关于量子场论的数学理解。这些属于物理领域，并在诸如在 CERN 进行的大规模实验中发挥作用。目的是用数学方法描述基本粒子，即已知最小的物质成分。但这太复杂了，取而代之的是，虚粒子在数学上被描述，它们具有实粒子的某些特性。希望有朝一日可以使用以这种方式建立的方法来描述真实的粒子。

在这个问题上工作了 10 年，今年你有了一个突破。这是怎么来的?

五月底，我尝试了一个想法，我的博士学位。学生亚历山大·霍克提供了决定性的推动力。我算出了一个新方程——比前一个更简单——并开始循环求解。这意味着您可以通过计算每个前一步中方程的左侧并在下一步中将其用于方程的右侧来逐步(即逐个循环)接近解决方案。

在第四个循环中，我必须计算 46 个积分的总和，其中包含多项式。这些多对数是一些要求更高的函数，在每个循环中都变得更加复杂。我很幸运，总而言之，几乎所有东西都被抵消了，剩下的只是正常对数的一小部分幂。我立刻意识到这里有宝藏。

第五个循环不是那么容易解决 - 但我再次很幸运。在法国阿尔卑斯山的暑期学校期间，我有机会与这些功能的专家交谈。其中一位专家是牛津大学的 Erik Panzer 博士。他编写了一个关于超对数符号数学的计算机程序，并提供了支持。一夜之间，这个程序计算了我的方程，直到第七个循环。它证实了我的结果直到第四次循环，在第四次循环之后奇迹还在继续——一切都可以分解成正常对数。一种模式开始出现!

这意味着什么?

也许您还记得上学时的帕斯卡三角形，它带有二项式系数?在三角形中，三角形一行中输入的每个数字都是其上方输入的两个数字之和。我们在循环中发现的正是这样一个三角形结构——如果比帕斯卡三角形更复杂的话。

6 月 9 日，完成了第 8 和第 9 次循环。然后是最重要的时刻。Erik Panzer 破译了一个所谓的递归公式，它从三角形上方的线生成三角形中的每一行，从而使我们能够从已知推断到未知。

此刻你脑子里闪过什么?

……在你回去工作之前。

是的。第二天，我成功地将等式的一部分简化为一系列简单的导数。最初，其余的似乎都很困难。直到深夜，我才想到使用柯西公式来解决它。我将闹钟设置为第二天早上 5:30，并立即试用。它在第一次尝试时奏效，在下一步中，我发现了一个我经常看到的公式。我知道它可以通过使用 Lambert W 函数来解决。几分钟后，我收到了 Erik Panzer 的一封电子邮件：他也想到了兰伯特函数，但采用了完全不同的方式。结果，我们取得了 10 年来都无法实现的成果：解决了描述量子场论模型的积分方程。简直不可思议。

您使用了 18 世纪数学家开发的思想和方法，这些思想和方法如今已几乎完全被遗忘。

这些旧公式对我们帮助很大。Lambert W 函数是我们解决方案的基本部分，以瑞士数学家 Johann Heinrich Lambert 的名字命名。这个等式出现在大量完全不同的问题中。由于缺乏对兰伯特基础知识的认识，兰伯特函数被一次又一次地发明，直到 1993 年才被确立为标准。我们还使用了拉格朗日-布尔曼公式，它帮助我们借助朗伯函数，以及柯西公式。总的来说，数学对其祖先非常尊重。欧拉、兰伯特、拉格朗日、柯西、高斯和希尔伯特等名字被引用，以表彰他们的成就。但是有两个现代工具我不想没有：维基百科和计算机代数。您可以在 Wikipedia 上找到全面的信息，涵盖众所周知的和不太知名的数学结构和函数。计算机解方程的速度比手工快得多，而且不会出错

什么是下一步?

我们的解决方案中出现了一个新函数，我们将其命名为 Nielsen 函数。当我们更好地理解它并确定例如它与其他已知功能的关系时，我们将提交我们的工作(可作为预印本免费在线访问)，以便在具有同行评审的专业期刊上发表。

之后，我想继续一些我自 2002 年以来与来自维也纳的同事 Harald Grosse 教授一起从事的工作。它涉及数学粒子的量子场论。我们现在将能够借助我们已经解决的方程来完全理解这个模型。

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