【x分之lnx的导数是什么】在微积分中，求函数的导数是常见的问题之一。对于函数 $ \frac{\ln x}{x} $，我们可以通过求导法则来计算其导数。下面将对这一过程进行详细总结，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、函数解析
给定函数为：
$$
f(x) = \frac{\ln x}{x}
$$
这是一个分式函数，分子是自然对数 $ \ln x $，分母是变量 $ x $。为了求其导数，我们需要使用商数法则（Quotient Rule）。
二、求导过程
根据商数法则：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
设：
- $ u = \ln x $，则 $ u' = \frac{1}{x} $
- $ v = x $，则 $ v' = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}
= \frac{1 - \ln x}{x^2}
$$
三、结果总结
| 步骤 | 内容 |
| 原始函数 | $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ |
| 使用的法则 | 商数法则 |
| 分子部分 | $ u = \ln x $，$ u' = \frac{1}{x} $ |
| 分母部分 | $ v = x $，$ v' = 1 $ |
| 导数表达式 | $ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $ |
四、结论
函数 $ \frac{\ln x}{x} $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}
$$
这个结果可以用于进一步的分析或应用，例如研究函数的极值、单调性等。
如需更深入的推导或应用示例，可继续探讨。