【数学求导公式】在数学中，求导是微积分的核心内容之一，用于研究函数的变化率和斜率。掌握常见的求导公式对于学习高等数学、物理、工程等学科至关重要。以下是对常见数学求导公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本求导法则
1. 常数的导数：任何常数的导数为0。
2. 幂函数的导数：若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $。
3. 乘积法则：若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $。
4. 商法则：若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则 $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $。
5. 链式法则：若 $ f(x) = g(h(x)) $，则 $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $。
二、常见函数的求导公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
三、复合函数的求导
在实际应用中，常常需要对复合函数进行求导，例如：
- $ f(x) = \sin(2x) $ 的导数为 $ f'(x) = 2\cos(2x) $
- $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ 的导数为 $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
这些例子展示了如何使用链式法则来处理复杂的函数结构。
四、总结
求导是数学分析中的基础工具，广泛应用于科学与工程领域。理解并熟练掌握各类函数的求导公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。通过不断练习和应用，可以更加灵活地运用这些公式解决实际问题。
如需进一步了解隐函数求导、参数方程求导或高阶导数等内容，可继续深入学习相关章节。