【求函数定义域】在数学中，函数的定义域是指函数中自变量（通常为x）可以取的所有实数值的集合。正确确定函数的定义域是解决函数问题的基础，也是理解函数性质的重要环节。不同类型的函数对定义域有不同的限制条件，因此在分析时需要根据函数的表达形式进行具体判断。
一、常见函数类型及其定义域总结
| 函数类型 | 一般形式 | 定义域说明 | 举例 |
| 常数函数 | f(x) = c | 全体实数 R | f(x) = 5 |
| 一次函数 | f(x) = ax + b | 全体实数 R | f(x) = 2x + 3 |
| 二次函数 | f(x) = ax² + bx + c | 全体实数 R | f(x) = x² - 4x + 7 |
| 分式函数 | f(x) = $\frac{P(x)}{Q(x)}$ | Q(x) ≠ 0 的所有x值 | f(x) = $\frac{1}{x-2}$ |
| 根号函数 | f(x) = $\sqrt{g(x)}$ | g(x) ≥ 0 的所有x值 | f(x) = $\sqrt{x+3}$ |
| 对数函数 | f(x) = log(g(x)) | g(x) > 0 的所有x值 | f(x) = log(x - 1) |
| 指数函数 | f(x) = a^{g(x)} | 全体实数 R（a > 0） | f(x) = 2^x |
| 三角函数 | f(x) = sin(x), cos(x), tan(x) | sin(x) 和 cos(x) 的定义域为 R；tan(x) 的定义域为 x ≠ (2k+1)π/2（k ∈ Z） | f(x) = tan(x) |
二、求函数定义域的步骤
1. 识别函数类型：首先判断函数属于哪种类型，如分式、根号、对数等。
2. 找出限制条件：
- 分式函数：分母不能为零；
- 根号函数：被开方数必须非负；
- 对数函数：底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0；
- 三角函数：需注意特殊点的排除（如正切函数的垂直渐近线）。
3. 解不等式或方程：根据限制条件列出不等式或方程并求解。
4. 写出最终定义域：将满足条件的x值用区间或集合表示。
三、典型例题解析
例1：求函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域
- 分母不能为零，即 $ x^2 - 4 ≠ 0 $
- 解得 $ x ≠ ±2 $
- 所以定义域为 $ (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞) $
例2：求函数 $ f(x) = \sqrt{x - 3} $ 的定义域
- 被开方数必须非负，即 $ x - 3 ≥ 0 $
- 解得 $ x ≥ 3 $
- 所以定义域为 $ [3, +∞) $
例3：求函数 $ f(x) = \log(x - 1) $ 的定义域
- 真数必须大于0，即 $ x - 1 > 0 $
- 解得 $ x > 1 $
- 所以定义域为 $ (1, +∞) $
四、总结
函数的定义域是函数存在的基础，不同的函数形式对应不同的限制条件。掌握各类函数的定义域规则，并能灵活运用到实际问题中，是学好数学的关键之一。通过系统的学习和练习，能够更准确地判断和求解各种函数的定义域。