导读 今天小编肥嘟来为大家解答以上的问题。零点定理的条件,零点定理相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、设函数f(x)在闭区间[a

今天小编肥嘟来为大家解答以上的问题。零点定理的条件,零点定理相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ

2、  证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令  E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.  由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,  存在ξ=supE∈[a,b].  下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上,  (i)若f(ξ)>0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知  存在x1∈(ξ,b):f(x1)<0→存在x1∈E:x1>supE,  这与supE为E的上界矛盾;  (ii)若f(ξ)<0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知  存在δ>0,对任意x∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在δ>0,对任意x∈E:x<ξ-δ,  这又与supE为E的最小上界矛盾。

3、  综合(i)(ii),即推得f(ξ)=0。

4、  我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

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