柯西不等式:柯西不等式积分、一般形式
本期高考100小编将介绍柯西不等式的表述形式,如柯西不等式的复数形式、积分形式、一般形式等,还包括柯西不等式的推导证明、柯西不等式的推广及应用等。
一、不等式表述柯西不等式有着众多的表述形式,例如:一般形式、复数形式、积分形式等。
一般形式设是正整数且,则有:,当且仅当时取到等号。
复数形式设是正整数且,则有:.
积分形式设是区间上的可积函数,则有:.
概率论形式设是两个随机变量,则有:.
二、推导证明这里给出一般形式的若干种证法:
证法一记. 则关于的二次函数. 因此,其判别式. 化简后即为柯西不等式。
证法二由拉格朗日恒等式,.[3]
证法三由齐次性,可不妨设, 则:, 对该式平方后即可得到原不等式。
证法四对归纳证明该不等式成立. 易知时不等式成立. 若时不等式成立,则时:因此该不等式成立。
三、柯西不等式的推广赫尔德不等式设是正整数且,设1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1">则有:.[2]
卡尔松不等式设是正整数且则有:. 当且仅当时取到等号.[4]
四、柯西不等式的应用利用柯西不等式可以解决很多不等式问题,例如Nesbitt不等式:
设是正实数,则:.[3]
证明:由柯西不等式, 因此.