导读 RUDN大学特邀教授Durvudkhan Suragan及其同事团队获得并建立了新型的功能不等式。哈代不等式是数学物理中解决问题的一种重要类型。研究结

RUDN大学特邀教授Durvudkhan Suragan及其同事团队获得并建立了新型的功能不等式。哈代不等式是数学物理中解决问题的一种重要类型。研究结果发表在《数学进展》上。

大约一个世纪以来，世界各地的数学家一直在研究所谓的哈代不等式的性质。它们是级数和积分的某种类型的关系。哈代不等式在泛函分析中被研究，并在数学和力学的许多领域以及退化微分方程理论(椭圆型偏导数)、谱理论、非线性分析和插值理论中用作辅助工具。

大多数关于哈代不等式及其类似物的研究都是在欧几里得向量空间中进行的。从高等数学的角度来看，欧几里得空间是一组任意元素，对其进行点积运算。二维和三维空间是欧几里得空间的特例。RUDN 的一个团队扩展了哈代型不等式的理论，并根据更复杂的数学对象——齐次拓扑群来研究它们。

如果一组元素同时是一个拓扑空间和一个群，并且乘积和元素求逆的运算是连续的，则称为拓扑群。在拓扑空间中可以找到具有特殊属性的子集(拓扑)系统。除了子集本身，拓扑还包括由任意数量的元素组成的聚合，以及交集(仅限有限集)和空集。群结构的存在意味着对集合给出了一个结合代数运算，它包含所谓的“一的图”(乘法中具有 1 的性质的那个)，并且所有元素都有逆数。

在同构拓扑群中建立功能不等式的现有方法是基于对范数特性的研究。数学中的范数是满足一定要求的非负复合函数。数模和向量长度是范数的简单例子。该研究的作者建议的新方法允许使用随机规范，而不是之前使用的严格确定和固定的复合函数。

团队工作的结果是在同质组中获得和建立新型的哈代不等式。特别注意阿贝尔群中的分析。阿贝尔性(或交换性)表示为群运算结果与元素顺序的独立性。交换性的一个特殊情况是众所周知的规则“排列和的被加数不会改变和的值”。科学家指出，新得到的不等式可以用于非线性微分方程理论。

研究结果主要是理论性和基础性的。Hardy 型不等式分析的现有结果已被重新考虑并扩展到新的数学对象类别。因此，可能会发现这些不等式的更多未知应用。