导读 在过去的 150 年里，人们提出了许多处理黎曼假设的方法，但没有一种方法能够解决数学中最著名的开放问题。国家科学院院刊( PNAS ) 上

在过去的 150 年里，人们提出了许多处理黎曼假设的方法，但没有一种方法能够解决数学中最著名的开放问题。国家科学院院刊( PNAS ) 上的一篇新论文表明，这些旧方法之一比以前意识到的更实用。

“在一个令人惊讶的简短证明中，我们已经证明不应该忘记对黎曼假设的一种古老的、废弃的方法，”埃默里大学的数论学家、该论文的合著者Ken Ono 说。“通过简单地为旧方法制定适当的框架，我们已经证明了一些新定理，其中包括大量暗示黎曼假设的标准。我们的一般框架也为其他基本未解决的问题开辟了道路。”

这篇论文以 Johan Jensen 和 George Pólya 的工作为基础，他们是 20 世纪最重要的两位数学家。它揭示了一种计算 Jensen-Pólya 多项式的方法——黎曼假设的一种表述——不是一次一个，而是一次计算。

“我们证明的美妙之处在于它的简单性，”小野说。“我们没有发明任何新技术或在数学中使用任何新对象，但我们提供了黎曼假设的新观点。任何相当先进的数学家都可以检查我们的证明。这不需要数论专家。”

尽管该论文未能证明黎曼假设，但其结果包括已知从黎曼假设得出的先前公开的断言，以及其他领域猜想的一些证明。

该论文的合著者是迈克尔·格里芬和拉里·罗伦——小野的两位前埃默里研究生，现在分别在杨百翰大学和范德比尔特大学任教——以及马克斯普朗克数学研究所的唐扎吉尔。

“这里建立的结果可能被视为为黎曼假设提供了进一步的证据，无论如何，它是一个美丽的独立定理，”斯坦福大学数学家、黎曼假设专家 Kannan Soundararajan 说。

这篇论文的想法是由两年前的一个“玩具问题”引发的，小野在庆祝他 65 岁生日的数学会议前夕将这个问题作为“礼物”来招待 Zagier。玩具问题是数学家试图解决的更大、更复杂问题的缩小版本。

Zagier 将小野给他的问题描述为“一个关于涉及欧拉分配函数的多项式的渐近行为的可爱问题，这是我和肯的旧爱——以及几乎所有经典数论家。”

“我发现这个问题很棘手，我真的没想到唐能解决这个问题，”小野回忆道。“但他认为挑战非常有趣，很快他就制定了一个解决方案。”

小野的预感是，这样的解决方案可以制作成一个更一般的理论。这就是数学家最终取得的成果。

“这是一个有趣的项目，一个非常有创意的过程，”格里芬说。“研究层面的数学通常更像是一门艺术，而不是计算，这里的情况确实如此。它要求我们以新的方式看待 Jensen 和 Pólya 近 100 年的想法。”

黎曼假设是七个千年奖问题之一，被克莱数学研究所确定为数学中最重要的开放问题。每个问题的解决者都会获得 100 万美元的赏金。

该假设首次出现在 1859 年德国数学家伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 的一篇论文中。他注意到素数的分布与解析函数的零点密切相关，这个解析函数后来被称为黎曼 zeta 函数。在数学方面，黎曼假设是断言 Zeta 函数的所有非平凡零点都具有 ½ 实部。

“他的假设很长，但黎曼的动机很简单，”小野说。“他想数素数。”

该假设是理解数论中最大的谜团之一——素数背后的模式的工具。尽管素数是初等数学中定义的简单对象(任何大于 1 且除了 1 和它本身之外没有正除数的数)，但它们的分布仍然是隐藏的。

第一个质数 2 是唯一的偶数。下一个素数是 3，但素数不遵循每三个数的模式。下一个是 5，然后是 7，然后是 11。随着你继续向上计数，素数迅速变得不那么频繁。

“众所周知，素数有无穷多个，但它们变得稀少，即使到了 100 的时候，”小野解释道。“事实上，在最初的 100,000 个数字中，只有 9,592 个是素数，大约占 9.5%。而且它们很快变得稀少。随机选择一个数字并将其设为素数的概率为零。这种情况几乎从未发生过.”

1927 年，Jensen 和 Pólya 制定了确认黎曼猜想的标准，以此作为释放其潜力以阐明质数和其他数学奥秘的一步。标准的问题——确定 Jensen-Pólya 多项式的双曲性——在于它是无限的。在过去的 90 年中，序列中的多项式只有少数得到验证，导致数学家放弃这种方法，因为它太慢且笨拙。

对于PNAS论文，作者设计了一个按度组合多项式的概念框架。这种方法使他们能够 100% 地确认每个程度的标准，从而使之前已知的少数情况黯然失色。

“该方法具有令人震惊的普遍性，因为它适用于看似无关的问题，”罗伦说。“同时，它的证明很容易理解和理解。数学中一些最美丽的见解需要很长时间才能实现，但一旦你看到它们，它们就会显得简单而清晰。”

尽管他们做了很多工作，但结果并不排除黎曼假设是错误的可能性，作者认为这个著名猜想的完整证明还很遥远。