【一元三次方程求根公式】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程在数学中具有重要的理论和实际意义，广泛应用于物理、工程、经济等领域。与二次方程不同，三次方程的解法较为复杂，历史上曾引发过许多数学家的研究兴趣。
一元三次方程的求根公式最早由意大利数学家塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）发现，并由卡当（Gerolamo Cardano）在其著作《大术》（Ars Magna）中发表，因此也被称为“卡当公式”。该公式通过一系列代数变换将三次方程转化为更易求解的形式，最终得到根的表达式。
以下是一元三次方程求根公式的总结与关键步骤：
一、一般形式
标准形式为：
$$
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
$$
其中 $ a \neq 0 $。
二、化简步骤
1. 降次处理：
将方程两边除以 $ a $，得：
$$
x^3 + px^2 + qx + r = 0
$$
其中 $ p = \frac{b}{a} $, $ q = \frac{c}{a} $, $ r = \frac{d}{a} $。
2. 消去二次项：
引入变量替换 $ x = y - \frac{p}{3} $，将方程转化为：
$$
y^3 + my + n = 0
$$
其中 $ m = q - \frac{p^2}{3} $, $ n = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} $。
三、求根公式
对于简化后的方程 $ y^3 + my + n = 0 $，其根可表示为：
$$
y = \sqrt[3]{-\frac{n}{2} + \sqrt{\left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{n}{2} - \sqrt{\left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3}}
$$
再根据之前的变量替换 $ x = y - \frac{p}{3} $，即可得到原方程的根。
四、判别式与根的性质
三次方程的判别式为：
$$
\Delta = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3
$$
- 若 $ \Delta > 0 $：方程有三个实根，其中一个是实根，另外两个为共轭复根。
- 若 $ \Delta = 0 $：方程有重根，可能有三个实根或一个实根和两个相等的实根。
- 若 $ \Delta < 0 $：方程有三个不同的实根。
五、表格总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 标准形式 | $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ |
| 2. 降次处理 | 除以 $ a $，变为 $ x^3 + px^2 + qx + r = 0 $ |
| 3. 消去二次项 | 令 $ x = y - \frac{p}{3} $，转化为 $ y^3 + my + n = 0 $ |
| 4. 求根公式 | $ y = \sqrt[3]{-\frac{n}{2} + \sqrt{\left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{n}{2} - \sqrt{\left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3}} $ |
| 5. 变量还原 | $ x = y - \frac{p}{3} $ |
| 6. 判别式 | $ \Delta = \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \left( \frac{m}{3} \right)^3 $ |
六、注意事项
- 卡当公式虽然能给出精确的根表达式，但计算过程较为繁琐，尤其涉及复数运算时。
- 实际应用中，常用数值方法（如牛顿迭代法）来求解三次方程的近似解。
- 当判别式 $ \Delta < 0 $ 时，方程有三个实根，此时可用三角函数法进行求解。
七、结论
一元三次方程的求根公式是数学史上的重要成果，它不仅揭示了三次方程的结构特征，也为后续多项式理论的发展奠定了基础。尽管现代计算工具可以快速求解，但理解其推导过程和基本原理仍对深入学习数学有重要意义。