【高数常见函数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础之一，掌握常见函数的求导公式对于解题和理解函数性质具有重要意义。以下是对一些常见的基本函数及其导数的总结，便于学习和查阅。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | n为任意实数 |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 特别地，$ e^x $ 的导数仍为 $ e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 特别地，$ \ln x $ 的导数为 $ \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 三角函数的基本导数 |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 与正弦函数互为导数 |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 定义域为 $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 定义域为 $ x \neq k\pi $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(3x) $，则 $ f'(x) = 3\cos(3x) $
- $ f(x) = e^{x^2} $，则 $ f'(x) = 2x e^{x^2} $
三、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 与 $ x = f^{-1}(y) $ 互为反函数，则有：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
例如：
- 若 $ y = \ln x $，则 $ x = e^y $，导数为 $ \frac{dx}{dy} = e^y = x $
四、隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义的隐函数 $ y = y(x) $，可以通过对两边同时求导来求出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
- 方程 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 x 求导得：
$ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 $，解得：
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $
五、高阶导数
某些函数的高阶导数也具有规律性，如：
- $ f(x) = e^x $，则 $ f^{(n)}(x) = e^x $
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f^{(n)}(x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2}) $
- $ f(x) = x^n $，则 $ f^{(k)}(x) = \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} $（当 $ k \leq n $）
六、小结
掌握这些常见函数的求导方法，有助于快速解决微分问题，提高解题效率。建议在学习过程中多做练习，加深对导数规则的理解与应用。
通过以上总结，可以系统地复习和巩固高数中常见的求导公式，为后续的学习打下坚实基础。