【样本方差的计算公式】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。它可以帮助我们了解数据的波动性或分散程度，是数据分析中的基础工具之一。样本方差与总体方差有所不同，其计算方式需要进行一定的调整，以避免对总体参数的低估。
一、样本方差的定义
样本方差（Sample Variance）是指从一个总体中抽取的一部分数据（即样本）所表现出的离散程度。由于样本只是总体的一部分，为了更准确地估计总体方差，样本方差通常使用“无偏估计”方法进行计算。
二、样本方差的计算公式
样本方差的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $ 表示样本方差；
- $ n $ 是样本中数据的个数；
- $ x_i $ 是第 $ i $ 个数据点；
- $ \bar{x} $ 是样本的平均值。
> 注意：与总体方差不同，样本方差分母为 $ n - 1 $，而不是 $ n $，这是为了得到对总体方差的无偏估计。
三、样本方差的计算步骤
1. 计算样本的平均值 $ \bar{x} $。
2. 每个数据点减去平均值，得到偏差。
3. 将每个偏差平方。
4. 对所有平方偏差求和。
5. 用总和除以 $ n - 1 $，得到样本方差。
四、示例说明
假设有一组样本数据：$ 5, 7, 8, 10, 12 $
1. 计算平均值：
$$
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4
$$
2. 计算每个数据点与平均值的差及平方：
| 数据点 $ x_i $ | 偏差 $ x_i - \bar{x} $ | 平方偏差 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | -3.4 | 11.56 |
| 7 | -1.4 | 1.96 |
| 8 | -0.4 | 0.16 |
| 10 | 1.6 | 2.56 |
| 12 | 3.6 | 12.96 |
3. 求和平方偏差：
$$
11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96 = 29.2
$$
4. 计算样本方差：
$$
s^2 = \frac{29.2}{5 - 1} = \frac{29.2}{4} = 7.3
$$
五、总结表格
| 概念 | 内容 |
| 样本方差定义 | 衡量样本数据与其平均值之间差异程度的统计量 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 分母为何是 $ n - 1 $ | 为了得到总体方差的无偏估计 |
| 计算步骤 | 1. 计算平均值；2. 计算偏差；3. 平方偏差；4. 求和；5. 除以 $ n - 1 $ |
| 示例结果 | 该样本的方差为 7.3 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解样本方差的计算过程及其在实际数据分析中的应用价值。