【三个空间向量共面公式是什么】在三维几何中，判断三个空间向量是否共面是一个常见的问题。共面指的是这三个向量所在的直线或平面具有相同的平面位置。判断三个空间向量是否共面，可以通过向量的混合积（也称三重积）来实现。
一、
若三个向量 a, b, c 是空间中的三个向量，则它们共面的充要条件是它们的混合积为零，即：
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0
$$
这个公式称为三个空间向量共面的判定公式。如果该值不为零，则说明这三个向量不共面，而是构成一个三维空间中的立体结构。
此外，也可以通过行列式法来判断，将三个向量作为列向量（或行向量）组成一个3×3矩阵，计算其行列式的值。若行列式为零，则说明三个向量共面；否则不共面。
二、表格展示
| 判断方法 | 公式表达 | 说明 |
| 混合积法 | $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ | 若结果为0，表示三个向量共面；否则不共面。 |
| 行列式法 | $ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0 $ | 将向量写成矩阵形式，计算行列式，若为0则共面。 |
三、示例说明
设向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，$\vec{c} = (7, 8, 9)$，则它们的混合积为：
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} = 0
$$
因此，这三个向量是共面的。
四、结论
判断三个空间向量是否共面，最常用的方法是使用混合积或行列式。这两个方法本质上是一致的，只是表达方式不同。掌握这一公式有助于在几何、物理和工程等领域进行向量分析与应用。