【一元二次不等式的解法步骤】一元二次不等式是数学中常见的问题类型，通常形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $（或小于、大于等于、小于等于）的形式。解决这类不等式的关键在于理解其与对应方程的根之间的关系，并结合图像进行分析。以下是一元二次不等式的解法步骤总结。
一、一元二次不等式的解法步骤
1. 整理不等式
将不等式化为标准形式：$ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $，其中 $ a \neq 0 $。
2. 求出对应的二次方程的根
解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $（可能相等或无实根）。
3. 判断判别式
计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $，根据其值判断根的情况：
- 若 $ \Delta > 0 $：有两个不相等的实根；
- 若 $ \Delta = 0 $：有一个重根；
- 若 $ \Delta < 0 $：无实根。
4. 画出抛物线图像
根据二次项系数 $ a $ 的正负，判断抛物线开口方向：
- 若 $ a > 0 $：开口向上；
- 若 $ a < 0 $：开口向下。
5. 确定不等式的解集
根据抛物线与x轴的交点以及开口方向，结合不等号的方向，确定满足条件的区间。
6. 写出最终答案
用区间表示法或不等式表示法写出解集。
二、不同情况下的解法对比表
| 不等式形式 | 判别式 Δ | 根的情况 | 抛物线开口方向 | 解集范围示例 |
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | Δ > 0 | 两不等实根 | a > 0：上开 | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ |
| a < 0：下开 | $ x_1 < x < x_2 $ | |||
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | Δ > 0 | 两不等实根 | a > 0：上开 | $ x_1 < x < x_2 $ |
| a < 0：下开 | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ | |||
| $ ax^2 + bx + c \geq 0 $ | Δ = 0 | 一个重根 | a > 0：上开 | $ x \leq x_1 $ 或 $ x \geq x_1 $ |
| a < 0：下开 | $ x = x_1 $ | |||
| $ ax^2 + bx + c \leq 0 $ | Δ = 0 | 一个重根 | a > 0：上开 | $ x = x_1 $ |
| a < 0：下开 | $ x \leq x_1 $ 或 $ x \geq x_1 $ | |||
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | Δ < 0 | 无实根 | a > 0：上开 | 全体实数 $ (-\infty, +\infty) $ |
| a < 0：下开 | 无解 | |||
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | Δ < 0 | 无实根 | a > 0：上开 | 无解 |
| a < 0：下开 | 全体实数 $ (-\infty, +\infty) $ |
三、注意事项
- 在解不等式时，必须注意不等号的方向是否改变，特别是在乘以或除以负数时。
- 当不等式中含有分母时，需考虑分母不能为零。
- 实际应用中，建议先画图辅助理解，再代数求解。
通过以上步骤和表格的参考，可以系统地掌握一元二次不等式的解法，提高解题效率和准确性。