【复合函数求导公式是什么】在微积分中，复合函数的求导是常见的问题之一。当我们面对由两个或多个函数组合而成的复杂函数时，直接求导会变得困难。这时就需要使用“复合函数求导法则”，也称为链式法则（Chain Rule）。
链式法则是微积分中最重要、最实用的规则之一，它允许我们对复合函数进行逐层求导。掌握这一法则，能够帮助我们快速解决许多实际问题，如物理、工程和经济模型中的变化率分析。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，通常表示为：
y = f(g(x))，其中 f 和 g 都是可导函数。
在这种情况下，y 对 x 的导数可以通过链式法则计算，即：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}
$$
换句话说，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
二、复合函数求导的步骤总结
1. 确定复合函数的结构，识别外层函数和内层函数。
2. 分别对外层函数和内层函数求导。
3. 将两者的导数相乘，得到最终结果。
三、复合函数求导公式总结表
| 复合函数形式 | 求导公式 | 说明 |
| y = f(g(x)) | dy/dx = f’(g(x)) · g’(x) | 外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对 x 的导数 |
| y = f(g(h(x))) | dy/dx = f’(g(h(x))) · g’(h(x)) · h’(x) | 三层复合函数，需逐层应用链式法则 |
| y = [f(x)]^n | dy/dx = n[f(x)]^{n-1} · f’(x) | 幂函数形式的复合函数，可看作外层函数为幂函数，内层为 f(x) |
| y = e^{g(x)} | dy/dx = e^{g(x)} · g’(x) | 指数函数与复合函数结合的情况 |
| y = ln(g(x)) | dy/dx = (1/g(x)) · g’(x) | 对数函数与复合函数结合的情况 |
四、实际例子解析
例1：
函数 $ y = \sin(2x) $
- 外层函数：$ \sin(u) $，其中 $ u = 2x $
- 外层导数：$ \cos(u) = \cos(2x) $
- 内层导数：$ 2 $
- 所以导数为：$ \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $
例2：
函数 $ y = \ln(\sqrt{x}) $
- 外层函数：$ \ln(u) $，其中 $ u = \sqrt{x} $
- 外层导数：$ \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x}} $
- 内层导数：$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $
- 所以导数为：$ \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} $
五、总结
复合函数求导的核心在于理解函数的层次结构，并正确应用链式法则。通过分步求导和逐步代入，可以有效降低计算错误率。掌握这一方法后，无论是简单的两层复合还是多层嵌套函数，都能轻松应对。
建议在学习过程中多做练习题，加深对链式法则的理解和运用能力。