问直线被圆截得的弦长公式是什么

【直线被圆截得的弦长公式是什么】在几何学习中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点，尤其是当直线与圆相交时，会形成一条弦。为了更高效地计算这条弦的长度，我们可以通过数学公式来推导出直线被圆截得的弦长公式。本文将总结相关知识，并通过表格形式清晰展示。

一、基本概念

- 直线：一般形式为 $ Ax + By + C = 0 $

- 圆：标准形式为 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $

- 弦：直线与圆相交所形成的线段，两端点在圆上

二、弦长公式的推导思路

当直线与圆相交时，可以利用以下步骤求解弦长：

1. 求直线到圆心的距离（即点到直线的距离）

公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

2. 利用勾股定理求弦长

若圆半径为 $ r $，则弦长 $ L $ 可表示为：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

三、总结公式

四、应用举例

假设圆的方程为 $ x^2 + y^2 = 9 $（即圆心在原点，半径 $ r = 3 $），直线为 $ x + y - 1 = 0 $

1. 圆心为 $ (0, 0) $，代入点到直线距离公式：

$$

d = \frac{0 + 0 - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

$$

2. 代入弦长公式：

$$

L = 2\sqrt{3^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{9 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{17}{2}} = \sqrt{34}

$$

五、注意事项

- 该公式仅适用于直线与圆相交的情况。

- 若直线与圆相切或不相交，则无实数弦长。

- 实际应用中，需先判断直线与圆的位置关系，再决定是否使用此公式。

六、结论

直线被圆截得的弦长公式是基于点到直线距离和圆的半径推导而来，具有明确的几何意义和实用价值。掌握这一公式有助于快速解决与直线和圆相交有关的问题，提升几何问题的解题效率。